Question

设函数f（x）=a^2x+2a^x-1，其中a＞0且a≠1．
（1）若a=

1

2

，请用定义证明f（x）在R上单调递增；
（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值为14，求a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）设x₁＜x₂，证明f（x₂）-f（x₁）＞0即可．
（2）先a^x=t，将函数转化成关于t的二次函数，注意讨论a的大小，求出变量t的范围，结合开口方向和对称轴求出最大值，建立等量关系，解之即可．

解答： 解：（1）设x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=(

1

2

)2x2+2(

1

2

)x2-1-（(

1

2

)2x1+2(

1

2

)x1-1）=(

1

2

)2x2-(

1

2

)2x1+2(

1

2

)x2-2(

1

2

)x1
∵2x₂＞2x₁，函数g（x）=(

1

2

)x在定义域内单调递减．
∴(

1

2

)2x2-(

1

2

)2x1＞0，2(

1

2

)x2-2(

1

2

)x1＞0即有f（x₂）-f（x₁）＞0．
故f（x）在R上单调递增．
（2）设a^x=t，则y=f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2
其对称轴是t=-1，若a＞1，x∈[-1，1]时，t∈[

1

a

，a]
二次函数y=f（t）在[

1

a

，a]上是增函数，从而y_max=f（a）=a²+2a-1
令a²+2a-1=14，得a=3（a=-5舍去）
若0＜a＜1，x∈[-1，1]时t∈[a，

1

a

]，y=f（t）在[a，

1

a

]上仍是增函数，
从而ymax=f（

1

a

）=

1

a2

+

2

a

-1=14，解得a=

1

3

或a=-

1

5

（舍去）
综合得：a=3或a=

1

3

．

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及指数函数的单调性与特殊点，考察了函数单调性的判断与证明，属于基础题．