Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为

3

，动点P在对角线BD₁上，过点P作垂直于BD₁的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[

1

2

，

5

2

]时，函数y=f（x）的值域为（　　）

• A、[

  6

  ，3

  6

  ]
• B、[

  3 6

  2

  ，3

  6

  ]
• C、[

  3 6

  2

  ，9]
• D、[

  6

  ，9]

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：函数的性质及应用,空间位置关系与距离

分析：验证x=BP=

1

2

，1，

3

2

时，y=f（x）的值是什么，分析函数y=f（x）的变化情况，从而得出正确的判断．

解答： 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为

3

，
∴BD₁=

3

AB=3，
当BP=

1

2

时，如图所示；

三棱锥B-EFG的底面是正三角形，设边长EF=a，则BE=

a

2

，
∴

1

3

•

3

4

a²•

1

2

=

1

3

•

1

2

•

a

2

•

a

2

•

a

2

；
解得a=

6

2

，
y=f（x）=

3 6

2

；
当EF=

2

AB=

6

时，y=f（x）=3

6

，如图所示；

1

3

•

3

4

•

6

•

6

•BP=

1

3

•

1

2

•

3

•

3

•

3

，
此时BP=1；
当BP=

3

2

时，截面为六边形EFGHIJ，
且EF=FG=GH=HI=IJ=JE=

1

2

AC=

6

2

，如图所示；

此时y=f（x）=

3 6

2

；
∴x∈[

1

2

，

5

2

]时，函数y=f（x）的值域应为[

3 6

2

，3

6

]．
故选：B．

点评：本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了作图和读图的能力，解题时应根据几何体的特征和条件进行分析变化情况，是难题．