Question

已知函数y=b+(a2+1)x2+2x（a，b是常数）在区间[-

3

2

，0]上有y_max=3，y_min=

5

2

，则a²+b²=（　　）

• A、2
• B、10
• C、8
• D、5

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：转化为函数y=b+（a²+1）^t，t∈[-1，0]（a，b是常数），根据函数的单调性求出最大值，最小值，解方程即可．

解答： 解：∵a²+1＞1，t（x）=x²+2x，x∈[-

3

2

，0]，
∴根据二次函数的性质得出：t∈[-1，0]
函数y=b+(a2+1)x2+2x（a，b是常数）
∴函数y=b+（a²+1）^t，t∈[-1，0]（a，b是常数）单调递增
∴y_max=b+1=3，y_min=b+

1

a2+1

=

5

2

，
b=2，a²=1
∴a²+b²=5，
故选：D

点评：本题考查了指数函数的单调性，换元法求解复合函数的最值问题，属于中档题．