Question

若f（x）是R上的奇函数，且在R上是增函数．若对于任意x∈R都有f(cos2x+2msinx-

5

2

)＜0恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：利用奇函数f（x）在R上是增函数，可由已知f(cos2x+2msinx-

5

2

)＜0恒成立得到2msinx＜sin²x+

3

2

恒成立；分sinx＞0、sinx=0与sinx＜0三类讨论，利用双钩函数的单调性质可分别求得实数m的取值范围，最后取交集解．

解答： 解：∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴f(cos2x+2msinx-

5

2

)＜0恒成立?f（cos²x+2msinx-

5

2

）＜f（0）恒成立，
又f（x）在R上是增函数，
∴cos²x+2msinx-

5

2

=1-sin²x+2msinx-

5

2

=-sin²x+2msinx-

3

2

＜0恒成立，
∴2msinx＜sin²x+

3

2

恒成立，
若sinx＞0，则m＜

1

2

（sinx+

3 2

sinx

）恒成立，令t=sinx（0＜t≤1），g（t）=

1

2

（t+

3 2

t

），
由双钩函数的单调性质可知g（t）在（0，1]上单调递减，
∴g（t）_min=g（1）=

1

2

（1+

3

2

）=

5

4

，
∴m＜

5

4

；
若sinx＜0，则m＞

1

2

（sinx+

3 2

sinx

）恒成立，同理可得，g（t）=

1

2

（t+

3 2

t

）在[-1，0]上单调递减，
∴g（t）_max=g（-1）=

1

2

（-1-

3

2

）=-

5

4

，
∴m＞-

5

4

；
若sinx=0，?m∈R，2msinx=0＜sin²x+

3

2

=

3

2

恒成立；
综上所述，-

5

4

≤m≤

5

4

．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，突出双钩函数单调性的考查，渗透化归思想与运算能力的考查，属于难题．