题目内容
已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2
，圆C的面积小于13．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C上有两点M、N关于直线x+2y-1=0对称，且|MN|=2
，求直线MN的方程；
（3）设过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与PC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
| 3 |
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C上有两点M、N关于直线x+2y-1=0对称，且|MN|=2
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（3）设过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与PC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系
专题：综合题,直线与圆
分析：（1）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C的面积小于13，即可求圆C的标准方程；
（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及垂径定理求出直线方程中的参数，即可得到直线方程；
（3）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设
∥
，则-3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．
（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及垂径定理求出直线方程中的参数，即可得到直线方程；
（3）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设
| OD |
| PC |
解答：
解：（1）设圆C：（x-a）2+y2=R2（a＞0），
由题意知
，解得a=1或a=
，…（3分）
又∵S=πR2＜13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：（x-1）2+y2=4． …（4分）
（2）由题意，可设直线MN的方程为2x-y+m=0．…（6分）
则圆心O到直线MN的距离d=
．
由垂径分弦定理得：
+3=4，即m=-2±
．
所以直线MN的方程为：2x-y-2±
=0．…（8分）
（3）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵l与圆C相交于不同的两点，
直线代入圆的方程，消去y得：（1+k2）x2+（6k-2）x+6=0，…（9分）
∴△=（6k-2）2-24（1+k2）=3k2-6k-5＞0，
解得k＜1-
或k＞1+
．
x1+x2=-
，y1+y2=k（x1+x2）+6=
，
假设
∥
，则-3（x1+x2）=y1+y2，
∴3×
=
，
解得k=
不满足k＜1-
或k＞1+
，假设不成立．
∴不存在这样的直线l． …（13分）
由题意知
|
| 13 |
| 8 |
又∵S=πR2＜13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：（x-1）2+y2=4． …（4分）
（2）由题意，可设直线MN的方程为2x-y+m=0．…（6分）
则圆心O到直线MN的距离d=
| |2+m| | ||
|
由垂径分弦定理得：
| (2+m)2 |
| 5 |
| 5 |
所以直线MN的方程为：2x-y-2±
| 5 |
（3）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵l与圆C相交于不同的两点，
直线代入圆的方程，消去y得：（1+k2）x2+（6k-2）x+6=0，…（9分）
∴△=（6k-2）2-24（1+k2）=3k2-6k-5＞0，
解得k＜1-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
x1+x2=-
| 6k-2 |
| 1+k2 |
| 2k+6 |
| 1+k2 |
假设
| OD |
| PC |
∴3×
| 6k-2 |
| 1+k2 |
| 2k+6 |
| 1+k2 |
解得k=
| 3 |
| 4 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴不存在这样的直线l． …（13分）
点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|