题目内容
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=AC，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是正方形．（1）求证：A1B∥平面AC1D；
（2）求证：CE⊥平面AC1D．
考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）设A1C∩AC1=0，根据O、D 分别为CA1、CB的中点，可得OD∥A1B．再利用直线和平面平行的判定定理证得A1B∥平面AC1D．
（2）由题意可得三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，利用平面和平面垂直的性质可得AD⊥平面BCC1B1，可得AD⊥CE．再根据B1BCC1是正方形，D、E 分别为BC、BB1的中点，证得C1D⊥CE．从而利用直线和平面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC1D．
（2）由题意可得三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，利用平面和平面垂直的性质可得AD⊥平面BCC1B1，可得AD⊥CE．再根据B1BCC1是正方形，D、E 分别为BC、BB1的中点，证得C1D⊥CE．从而利用直线和平面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC1D．
解答：
（1）证明：设A1C∩AC1=0，则由三棱柱的性质可得O、D 分别为CA1、CB的中点，∴OD∥A1B．
∵A1B?平面AC1D，OD?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．
（2）证明：由BB1⊥平面ABC，可得三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∵AB=AC，∴AD⊥BC．
由平面ABC⊥平面BCC1B1，AD?平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，可得AD⊥平面BCC1B1．
又CE?平面BCC1B1，故有AD⊥CE．
∵B1BCC1是正方形，D、E 分别为BC、BB1的中点，故有C1D⊥CE．
这样，CE垂直于平面AC1D内的两条相交直线AD、C1E，∴CE⊥平面AC1D．
（1）证明：设A1C∩AC1=0，则由三棱柱的性质可得O、D 分别为CA1、CB的中点，∴OD∥A1B．∵A1B?平面AC1D，OD?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．
（2）证明：由BB1⊥平面ABC，可得三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∵AB=AC，∴AD⊥BC．
由平面ABC⊥平面BCC1B1，AD?平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，可得AD⊥平面BCC1B1．
又CE?平面BCC1B1，故有AD⊥CE．
∵B1BCC1是正方形，D、E 分别为BC、BB1的中点，故有C1D⊥CE．
这样，CE垂直于平面AC1D内的两条相交直线AD、C1E，∴CE⊥平面AC1D．
点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，属于基础题．
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