Question

已知四棱锥P-ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．其中E是PD的中点．
（Ⅰ）求此四棱锥的体积；
（Ⅱ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅲ）求证：AE⊥PC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先求底面面积，由棱锥的体积公式即可求值；
（Ⅱ）先证明EO∥PB，又由EO?平面ACE，PB?平面ACE，即可证明PB∥平面ACE；
（Ⅲ）先证明CD⊥AD，再证明AE⊥CD，有AE⊥PD，从而可证AE⊥平面PCD，由PC?平面PCD，从而可证AE⊥PC．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积S_ABCD=2×2=4，高h=2，
所以V_P-ABCD=

1

3

×4×2=

8

3

，（4分）
（Ⅱ）由三视图可知，ABCD是正方形，连接AC、BD交于点O，则O是BD的中点，又E是PD的中点，
所以EO是三角形PBD的中位线，
所以EO∥PB，又EO?平面ACE，
PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE；                    （8分）
（Ⅲ）由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA        （9分）
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD                        （10分）
又∵PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD          （12分）
又∵△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴AE⊥PD
又∵PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD
∴AE⊥平面PCD，（13分）
又∵PC?平面PCD
∴AE⊥PC                                       （14分）

点评：本题主要考察了直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积公式的应用，属于基本知识的考查．