Question

已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（理科）（2）若k∈Z，且f（x）+

1

2

（3x²-5x-2k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．
（文科）（2）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx，得

f(0)=1+a=0 f′(0)=1=b

，求得a，b后可得函数解析式；
（理科）（2）把不等式f（x）+

1

2

（3x²-5x-2k）≥0对任意x∈R恒成立转化为k≤ex+

1

2

x2-

5

2

x-1对任意x∈R恒成立．构造函数令h(x)=ex+

1

2

x2-

5

2

x-1后利用导数求其最小值得答案；
（文科）（2）把f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立转化为

f(x)

x

＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，利用导数求得函数g(x)=

f(x)

x

，x＞0的最小值得答案．

解答： 解：（1）f（x）=e^x-x²+a，f′（x）=e^x-2x，
由已知

f(0)=1+a=0 f′(0)=1=b

，得a=-1，b=1，∴f（x）=e^x-x²-1；
（理科）（2）f（x）+

1

2

（3x²-5x-2k）≥0对任意x∈R恒成立，
?ex=

1

2

x2-

5

2

x-1-k≥0对任意x∈R恒成立，
?k≤ex+

1

2

x2-

5

2

x-1对任意x∈R恒成立．
令h(x)=ex+

1

2

x2-

5

2

x-1，h′(x)=ex+x-

5

2

，易知h′（x）在R上单调递增，
又h′(0)=-

3

2

＜0，h′(1)=e-

3

2

＞0，h′(

1

2

)=e

1

2

-2＜0，
h′(

3

4

)=e

3

4

-

7

4

＞2.56

3

4

-

7

4

=1．6

3

2

-

7

4

=

512 125

-

7

4

＞2-

7

4

=

1

4

＞0，
∴存在唯一的x0∈(

1

2

，

3

4

)，使得h′（x₀）=0，
且当x∈（-∞，x₀）时，h′（x）0．
即h（x）在（-∞，x₀）单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
h(x)min=h(x0)=ex0+

1

2

x02-

5

2

x0-1，又h′（x₀）=0，即ex0+x0-

5

2

=0，ex0=

5

2

-x0．
∴h(x0)=

5

2

-x0+

1

2

x02-

5

2

x0-1=

1

2

(x02-7x0+3)，
∵x0∈(

1

2

，

3

4

)，∴h(x0)∈(-

27

32

，-

1

8

)．
k≤ex=

1

2

x2-

5

2

x-1对任意x∈R恒成立?k≤h（x₀），
又k∈Z，∴k_max=-1．
（文科）（2）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立?

f(x)

x

＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g(x)=

f(x)

x

，x＞0，
∴g′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

=

x(ex-2x)-(ex-x2-1)

x2

=

(x-1)(ex-x-1)

x2

．
当x∈（0，+∞）时，e^x-x-1＞0恒成立，
令g′（x）＞0，得x＞1；g′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）_min=g（1）=e-2．
∴k＜g（x）_min=g（1）=e-2，
∴实数k的取值范围为（-∞，e-2）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，主要考查了数学转化思想方法和函数构造法，掌握不等式恒成立的条件是解答该题的关键，是压轴题．