Question

已知函数f（x）=x³+ax²-a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）对任意a≤-3，使得f（1）是函数f（x）的区间[1，b]（b＞1）上的最大值，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）无论-

2a

3

＜b，还是-

2a

3

≥b，只需f（1）≥f（b）就能使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，即可求实数b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=3x2+2ax=3x(x+

2

3

a)------------------------------------（2分）
当a=0，f'（x）≥0，函数递增区间是（-∞，+∞）
当a＞0，递增区间是(-∞，-

2

3

a)，(0，+∞)
当a＜0，递增区间是(-∞，0)，(-

2a

3

，+∞)-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 因为a≤-3，所以-

2

3

a≥2
所以无论-

2a

3

＜b，还是-

2a

3

≥b，只需f（1）≥f（b）就能使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，--------------------------------------------------------------------（8分）
化简得b³+ab²-a-1≤0
令g（a）=（b²-1）a+b³-1，∵b＞1，∴g（-3）=-3（b²-1）+b³-1≤0(b-1)(b2-2b-2)≤0，1＜b≤1+

3

所以b的取值范围是(1，1+

3

]．----------------------------------------（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．