Question

已知a∈R，函数f（x）=ax²+2x-3-a+

4

a

，求f（x）在[0，1]上的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：本题可以先对二次项系数进行分类讨论，以确定抛物线的开口方向，再对抛物线的对称轴位置进行分类讨论，确定图象特征，得到最值情况，从而得出本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）=ax²+2x-3-a+

4

a

，
∴a≠0，函数f（x）的图象是抛物线，对称轴方程为x=-

1

a

．
（1）当a＞0时，-

1

a

＜0，
∴抛物线开口向上，对称轴在区间左边，函数f（x）在[0，1]上单调递增．
∴f（0）≤f（x）≤f（1），即-3-a+

4

a

≤f（x）≤-1+

4

a

，
∴函数f（x）在[0，1]上的值域为[-3-a+

4

a

，-1+

4

a

]；
（2）当a＜0时，-

1

a

＞0，
∴抛物线开口向下．
①当0＜-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2时，
抛物线的对称轴在区间[0，1]内偏左，
∴f（1）≤f（x）≤f（-

1

a

），即-1+

4

a

≤f（x）≤-3-a+

1

a

，
∴函数f（x）在[0，1]上的值域为[-1+

4

a

，-3-a+

1

a

]；
②当

1

2

≤-

1

a

≤1，即-2≤a≤-1时，
抛物线的对称轴在区间[0，1]内偏右，
∴f（0）≤f（x）≤f（-

1

a

），即-3-a+

4

a

≤f（x）≤-3-a+

1

a

，
∴函数f（x）在[0，1]上的值域为[-3-a+

4

a

，-3-a+

1

a

]；
③当-

1

a

＞1，即-1＜a＜0时，
抛物线的对称轴在区间[0，1]右，
∴f（0）≤f（x）≤f（1），即-3-a+

1

a

≤f（x）≤-1+

4

a

，
∴函数f（x）在[0，1]上的值域为[-3-a+

1

a

，-1+

4

a

]．
综上，①当a＜-2时，函数f（x）在[0，1]上的值域为[-1+

4

a

，-3-a+

1

a

]；
②当-2≤a≤-1时，函数f（x）在[0，1]上的值域为[-3-a+

4

a

，-3-a+

1

a

]；
③当-1＜a＜0时，函数f（x）在[0，1]上的值域为[-3-a+

1

a

，-1+

4

a

]；
④当a＞0时，函数f（x）在[0，1]上的值域为[-3-a+

4

a

，-1+

4

a

]．

点评：本题考查了二次函数的值域求法，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的思维难度，属于中档题．