Question

已知函数f（x）=2x²-1．
（Ⅰ）用定义证明f（x）是偶函数；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-∞，0]上是减函数；
（Ⅲ）写出函数y=f（x）当x∈[-1，2]时的最大值与最小值．（不要求步骤）

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用偶函数的定义证明即可；
（Ⅱ）利用定义证明函数单调性的步骤是：取值、作差、变形定号、下结论；
（Ⅲ）确定函数的单调性，从而可得函数f（x）当x∈[-1，2]时的最大值与最小值．

解答： （Ⅰ）证明：∵f（x）=2x²-1，
∴f（-x）=2（-x）²-1=2x²-1=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（Ⅱ）证明：设x₁＜x₂≤0，则f（x₁）-f（x₂）=2（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁+x₂＜0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-∞，0]上是减函数；
（Ⅲ）解：f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数
∴x=0时，函数取得最小值为-1；x=2时，函数取得最大值为7．

点评：本题考查函数的单调性与最值，考查定义法证明函数的单调性与奇偶性，属于中档题．