Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

2

，AD=1，点E是棱PB的中点．
（1）证明：PD∥平面EAC；
（2）证明：平面ADE⊥平面PBC．
（3）求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC∩BD=O，连结OE，由已知得OE∥PD，由此能证明PD∥平面EAC．
（2）由已知得AE⊥PB，AD⊥PA，AD⊥AB，从而PB⊥AD，进而PB⊥平面ADE，由此能证明平面ADE⊥平面PBC．
（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：设AC∩BD=O，连结OE，
∵底面ABCD为矩形，点E是棱PB的中点，
∴OE∥PD，
∵OE?平面EAC，AD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
（2）证明：∵底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

2

，AD=1，点E是棱PB的中点，
∴AE⊥PB，AD⊥PA，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，∴PB⊥AD，
∴PB⊥平面ADE，
又PB?平面PBC，
∴平面ADE⊥平面PBC．
（3）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（

2

，0，0），P（0，0，

2

），E（

2

2

，0，

2

2

），C（

2

，1，0），D（0，1，0），
∴

EC

=（

2

2

，1，-

2

2

），

EB

=（

2

2

，0，-

2

2

），

ED

=（-

2

2

，1，-

2

2

），
设平BEC的法向量

n

=（x，y，z），
则

EC • n = 2 2 x+y- 2 2 z=0 EB • n = 2 2 x- 2 2 z=0

，取x=1，得

n

=（1，0，1），
设平面ECD的法向量

m

=（a，b，c），
则

EC • m = 2 2 a+b- 2 2 c=0 ED • m =- 2 2 a+b- 2 2 c=0

，取c=

2

，得

m

=（0，1，

2

），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2

2 × 3

=

3

3

．
∴二面角B-EC-D的平面角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．