Question

10．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，tanβ=$\frac{1}{2}$．
（1）求sinα的值；
（2）求tan（α+2β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α-$\frac{π}{4}$），利用两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2β的值，进而利用两角和的正切函数公式可求tan（α+2β）的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）因为$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
所以$α-\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$，
故$cos（α-\frac{π}{4}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（α-\frac{π}{4}）}=\frac{4}{5}$．             …（2分）
所以$sinα=sin[{（{α-\frac{π}{4}}）+\frac{π}{4}}]=sin（α-\frac{π}{4}）cosα+cos（α-\frac{π}{4}）sinα$…（5分）
=$\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．  …（6分）
（2）因为$α∈（0，\frac{π}{2}）$，由（1）知，$cosα=\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．…（8分）
所以tanα=7…（9分）
因为$tanβ=\frac{1}{2}$，
所以$tan2β=\frac{2tanβ}{{1-{{tan}^2}β}}=\frac{1}{{1-\frac{1}{4}}}=\frac{4}{3}$．               …（12分）
故$tan（α+2β）=\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}=\frac{{7+\frac{4}{3}}}{{1-7×\frac{4}{3}}}=-1$．      …（14分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，二倍角的正切函数公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．