Question

5．设在定义域上的可导函数f（x）满足f（e^x）=x-e^x，则函数f（x）的解析式为f（x）=lnx-x，它的递增区间是（0，1）．

Answer 1

分析 设t=e^x，利用换元法进行求解即可求函数的解析式，求函数的导数，由f′（x）＞0即可求出函数的单调递增区间．

解答 解：设t=e^x，则x=lnt，
则f（e^x）=x-e^x，等价为f（t）=lnt-t，
即f（x）=lnx-x，函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）=$\frac{1}{x}$-1＞0得$\frac{1-x}{x}＞0$，得0＜x＜1，
即函数的单调递增区间为（0，1），
故答案为：lnx-x，（0，1）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调区间的求解，利用换元法是解决本题的关键．求函数的导数，利用导数法是解决函数单调区间的常用方法．