Question

3．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为$\frac{{n（{n+1}）}}{2}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}$n．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数     N（n，3）=$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}$n
正方形数      N（n，4）=n²
五边形数      N（n，5）=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n
六边形数      N（n，6）=2n²-n
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=1000．

Answer 1

分析 观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$，把n=10，k=24代入可得答案

解答 解：原已知式子可化为：
N（n，3）=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n=\frac{3-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-3}{2}n$，
N（n，4）=n²=$\frac{4-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-4}{2}n$，
N（n，5）=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$=$\frac{5-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-5}{2}n$，
N（n，6）=2n²-n=$\frac{6-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-6}{2}n$，
由归纳推理可得：
N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$，
故N（10，24）=$\frac{24-2}{2}×1{0}^{2}+\frac{4-24}{2}×10$=1100-100=1000．
故答案为：1000．

点评 本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，是中档题．