Question

8．已知函数f（x）=lnx-a（x-1）²-（x-1）（其中常数a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，1）时，f（x）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-a（x-1）²-（x-1），（x＞0），
f′（x）=-$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$，
①a＜-$\frac{1}{2}$时，0＜-$\frac{1}{2a}$＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或0＜x＜-$\frac{1}{2a}$，令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
∴f（x）在$（0，-\frac{1}{2a}），（1，+∞）$递减，在$（-\frac{1}{2a}，1）$递增；
②-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，令f′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜-$\frac{1}{2a}$，
∴f（x）在$（0，1），（-\frac{1}{2a}，+∞）$递减，在$（1，-\frac{1}{2a}）$递增；
③$a=-\frac{1}{2}$，f′（x）=-$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≤0，f（x）在（0，1），（1+∞）递减；
④a≥0时，2ax+1＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）函数恒过（1，0），由（Ⅰ）得：a≥-$\frac{1}{2}$时，符合题意，
a＜-$\frac{1}{2}$时，
f（x）在（0，-$\frac{1}{2a}$）递减，在$（-\frac{1}{2a}，1）$递增，不合题意，
故a≥-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．