Question

13．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=2，AA₁=$\sqrt{3}$，M为A₁D₁的中点，P为底面四边形ABCD内的动点，且满足PM=PC，则点P的轨迹的长度为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 取AB 的中点E，由题意，点P的轨迹为DE的长度，利用勾股定理求值．

解答 解：取AB 的中点E，AD的中点N，
如图，因为MC在底面的射影为NC，并且DE⊥NC，所以DE⊥MC，
所以DE上的点到M，C 的距离相等，P在DE上，所以PM=PC，
所以点P的轨迹为DE，
因为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=2，AA₁=$\sqrt{3}$，M为A₁D₁的中点，
所以DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{1}}=\sqrt{5}$；
故选D．

点评 本题考查了动点的轨迹以及长方体中线段长度；关键是发现满足条件的轨迹．