Question

12．设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f（x）=lnx与g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是[e-2.2]．

Answer 1

分析 由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]，都有|f（x）-g（x）|≤1，化简整理得m-e≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+e，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m-1不大于最小值，且m+1不小于最大值即可．

解答 解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]，
∴对任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]，都有|f（x）-g（x）|≤1，
即有|lnx-$\frac{mx-1}{x}$|≤1，即m-1≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+1，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$≤x≤e），h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，
x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，
故h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值是1，最大值是e-1．
∴m-1≤1且m+1≥e-1，
∴e-2≤m≤2．
故答案为：[e-2，2]．

点评 本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．