Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1与双曲线

x2

4-v

+

y2

1-v

=1(1＜v＜4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y²=2x于P、Q两点，且OP⊥OQ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在椭圆C上，是否存在点R（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先确定c，利用椭圆C与双曲线共焦点，知a²-b²=3，设直线l的方程为x=ty+a，代入y²=2x，利用OP⊥OQ，即可求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意可知：当且仅当∠AOB=90°时，△AOB的面积取得最大值，得出m，n满足的关系式，与m²+4n²=4联立解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵1＜v＜4，
∴双曲线的焦点在x轴上，设F（±c，0），
则c²=4-v+v-1=3，
由椭圆C与双曲线共焦点，知a²-b²=3，
设直线l的方程为x=ty+a，代入y²=2x，可得y²-2ty-2a=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2a，
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=a²-2a=0，
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）在△MON中，S_△OMN=

1

2

|OM||ON|sin∠MON=

1

2

sin∠MON
当∠MON=90°时，sin∠MON有最大值

1

2

，
此时点O到直线L的距离为d=

1

m2+n2

=

2

2

．
∴m²+n²=2．
又∵m²+4n²=4，
联立

m2+n2=2 m2+4n2=4

，
解得m²=

4

3

，n²=

2

3

，此时点R（

2 3

3

，±

6

3

）或（-

2 3

3

，±

6

3

），△MON的面积为

1

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查学生分析解决问题的能力，正确表示三角形的面积是关键．