Question

设函数F（x）在区间D上的导函数为F₁（x），F₁（x）在区间D上的导函数为F₂（x），如果当x∈D时，F₂（x）≥0，则称F（x）在区间D上是下凸函数．已知e是自然对数的底数，f（x）=e^x-ax³+3x-6．
（1）若f（x）在[0，+∞）上是下凸函数，求a的取值范围；
（2）设M（x）=f（x）+f（-x）+12，n是正整数，求证：M（1）M（2）…M（n）＞

(en+1+2)n

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意得：[f′（x）]′=e^x-6ax在[0，+∞）上是下凸函数，即y=e^x-6ax≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，综合可得a的范围．
（2）由于M（x）=f（x）+f（-x）+12=e^x+e^-x＞0，然后由lnM（x₁）+lnM（x₂）＞ln（ex1+x2+2），
分别得到lnM（1）+lnM（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），lnM（2）+lnM（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），…，lnM（n）+lnM（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），累加后即可证得结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax³+3x-6，∴f′（x）=e^x-3ax²+3，∴[f′（x）]′=e^x-6ax，
由于f（x）在[0，+∞）上是下凸函数，
则y=e^x-6ax≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，
即a≤

ex

6x

在x∈（0，+∞）上恒成立，故a＜0．
（2）∵M（x）=f（x）+f（-x）+12=e^x+e^-x＞0，
∴lnM（x₁）+lnM（x₂）=ln[（ex1+e-x1）（ex2+e-x2）]，
又（ex1+e-x1）（ex2+e-x2）
=ex1+x2+e-(x1+x2)+ex1-x2+e-x1+x2
＞ex1+x2+e-(x1+x2)+2
＞ex1+x2+2，
∴lnM（1）+lnM（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
lnM（2）+lnM（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
…
lnM（n）+lnM（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2）．
由此得：2[M（1）+M（2）+…+M（n）]
=[M（1）+M（n）]+[M（2）+M（n-1）]+…+[M（n）+M（1）]＞nln（eⁿ⁺¹+2），
则lnM（1）+lnM（2）+…+lnM（n）＞

n

2

ln（eⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）成立，
故M（1）M（2）…M（n）＞

(en+1+2)n

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了函数恒成立问题，训练了数学转化思想方法，考查了累加法求数列的和，属高考试卷中的压轴题．