Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1（a²＞2）的右焦点F到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l：y=kx+1，使l与椭圆C交于两不同的点M、N，且|FM|=|FN|？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（1）通过椭圆的标准方程，由题意得b=

2

，再由a、b、c之间的关系点到直线的距离公式，求出a²=4，从而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线l，使存在直线l与椭圆C交于两不同的点M、N，且|FM|=|FN|，
设MN中点为H则FH⊥l，把直线l的方程代入椭圆的方程，转化为关于x的一元二次方程，由题意知判别式大于0，设出H、F的坐标，利用k_FH•k=-1，求解直线l的斜率，进而得到结果．

解答： 解：（1）由题意，F（c，0），
∵椭圆右焦点F到直线x-y+2

2

=0的距离为3，
∴

|c+2 2 |

2

=3，
∴c=

2

，

a2-2

=

2

，解得a²=4，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

2

=1
（2）假设存在直线l与椭圆C交于两不同的点M、N，且|FM|=|FN|，
设MN中点为H则FH⊥l，
由

y=kx+1 x2 4 + y2 2 =1

得（1+2k²）x²+4kx-2=0
∴点H的坐标是（

-2k

1+2k2

，

1

1+2k2

）
∵点F（

2

，0）∴kFH=

1 1+2k2 -0

-2k 1+2k2 - 2

=-

1

2 2 k2+2k+ 2

∵FH⊥l
∴k_FH•k=-1，即2

2

k2+k+

2

=0，
∵2

2

k2+k+

2

=0无解，
∴不存在直线l与椭圆C交于两不同的点M、N，且|FM|=|FN|．

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标注方程，直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直的性质，考查转化思想以及计算能力．