Question

己知命题p：椭圆

x2

10-m

+

y2

m-2

=1，长轴在y轴上．
（Ⅰ）若椭圆焦距为4，求实数m的值；
（Ⅱ）命题q：关于x的不等式x²-2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：（Ⅰ）利用椭圆焦距为4，长轴在y轴上，直接求实数m的值；
（Ⅱ）先求命题p和命题q为真时m取值范围，再根据复合命题真值表判断命题p、q一真一假，分p真q假时和p假q真时两种情况求解．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆焦距为4，长轴在y轴上，∴4=（m-2）-（10-m），解得m=8．
（Ⅱ）命题p为真时，m-2＞10-m＞0⇒10＞m＞6；
命题q为真时，△=4-4m＜0⇒m＞1；
若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，由复合命题真值表得，p、q一真一假，
若p真q假时，则

10＞m＞6 m≤1

⇒m∈∅；
若p假q真时，则

m≤6或m≥10 m＞1

⇒1＜m≤6或m≥10；
综上实数m的取值范围是1＜m≤6或m≥10．即m∈（1，6]∪[10，+∞）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了椭圆的标准方程，不等式的恒成立问题，要求熟记复合命题真值表．