题目内容
已知抛物线y2=4x，过点P（2，1）的直线l与抛物线交于两点A，B，且点P（2，1）为弦AB的中点．
（1）求直线l的方程；
（2）过点P（2，1）分别作斜率为k1，k2的两不同的直线l1，l2，若直线l1交抛物线于A1，B1，直线l2交抛物线于A2，B2，且
•
=
•
，求证：k1+k2的值为定值．
（1）求直线l的方程；
（2）过点P（2，1）分别作斜率为k1，k2的两不同的直线l1，l2，若直线l1交抛物线于A1，B1，直线l2交抛物线于A2，B2，且
| PA1 |
| PB1 |
| PA2 |
| PB2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出；
（2）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可求出．
（2）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可求出．
解答：
（1）解：设交点A（x1，y1），B（x2，y2），
∵点P（2，1）为弦AB的中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=4x，
得
，∴（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），
∴2（y1-y2）=4（x1-x2），∴k=
=2，
∴直线l的方程为：y-1=2（x-2），整理得：2x-y-3=0．
（2）证明：∵点P（2，1），设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，
则k1=tanα，k2=tanβ，且α，β∈(0，
)∪(
，π)，
则l1的参数方程为
，
代入抛物线方程得（1+tsinα）2=4（2+tcosα），
整理得t2sin2α+（2sinα-4cosα）t-7=0，
∵△=（2sinα-4cosα）2+28sin2α＞0，
∴t1t2=
=
•
，
同理
=
•
，
∵
•
=
•
，
∴sin2α=sin2β，
∴sinα=sinβ，∵α≠β，∴α=π-β，
∴k1+k2=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．
∵点P（2，1）为弦AB的中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=4x，
得
|
∴2（y1-y2）=4（x1-x2），∴k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
∴直线l的方程为：y-1=2（x-2），整理得：2x-y-3=0．
（2）证明：∵点P（2，1），设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，
则k1=tanα，k2=tanβ，且α，β∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
则l1的参数方程为
|
代入抛物线方程得（1+tsinα）2=4（2+tcosα），
整理得t2sin2α+（2sinα-4cosα）t-7=0，
∵△=（2sinα-4cosα）2+28sin2α＞0，
∴t1t2=
| -7 |
| sin2α |
| P1A1 |
| P1B1 |
同理
| -7 |
| sin2β |
| P1A2 |
| P1B2 |
∵
| PA1 |
| PB1 |
| PA2 |
| PB2 |
∴sin2α=sin2β，
∴sinα=sinβ，∵α≠β，∴α=π-β，
∴k1+k2=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．
点评：熟练掌握“点差法”直线的点斜式、直线与抛物线相交问题的解题模式、根与系数的关系、直线参数的几何意义是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2