Question

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．
（Ⅰ）若BD=6，求线段DE的长；
（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF=EF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若BD是直径，∠DEB=90°，可得$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，利用BD=6，求出BE，即可求线段DE的长；
（Ⅱ）证明∠AEF=∠A，即可证明AF=EF．

解答 （Ⅰ）解：∵BD是直径，∴∠DEB=90°，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，∵BD=6，∴BE=$\frac{24}{5}$，
在Rt△BDE中，DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{18}{5}$．（5分）
（Ⅱ）证明：连结OE，
∵EF为切线，∴∠OEF=90°，
∴∠AEF+∠OEB=90°，
又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，
又∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，
∴∠AEF=∠A，∴AE=EF．（10分）

点评 本题考查直径的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．