Question

10．设抛物线y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁、F₂为焦点，离心率e=$\frac{1}{2}$的椭圆与抛物线的一个交点为$E（\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$；自F₁引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，点P关于x轴的对称点记为M，设$\overrightarrow{{F_1}P}=λ\overrightarrow{{F_1}Q}$．
（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（Ⅱ）若$λ∈[\frac{1}{2}，1）$，求|PQ|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程；再由焦点坐标可得m=1，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），运用向量共线的坐标表示和联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，及基本不等式，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由E在椭圆上，得$\frac{4}{{9{a^2}}}+\frac{24}{{9{b^2}}}=1$①，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$ ②
由①、②解得a²=4，b²=3，
椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
可得焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
可得抛物线y²=4mx（m＞0）的准线为x=-m，
即有m=1，易得抛物线的方程是：y²=4x；
（Ⅱ）记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{{F_1}P}=λ\overrightarrow{{F_1}Q}$得：y₁=λy₂，③
设直线PQ的方程为y=k（x+1），
与抛物线的方程联立，得：ky²-4y+4k=0，
即有y₁y₂=4，④y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，⑤
由③④⑤消去y₁，y₂得：${k^2}=\frac{4λ}{{{{（λ+1）}^2}}}$，
则$|PQ|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|{y_2}-{y_1}|$，
由弦长公式得：$|PQ|=\sqrt{（1+\frac{1}{k^2}）}\frac{{\sqrt{16-16{k^2}}}}{|k|}$
化简为：$|PQ{|^2}=\frac{{16-16{k^4}}}{k^4}$，
代入λ，可得|PQ|²=$\frac{（λ+1）^{4}}{{λ}^{2}}$-16=（λ+$\frac{1}{λ}$+2）²-16，
∵$λ∈[\frac{1}{2}，1）$，∴$λ+\frac{1}{λ}∈（2，\frac{5}{2}]$，
于是：$0＜|PQ{|^2}≤\frac{17}{4}$，
即有$|PQ|∈（0，\frac{{\sqrt{17}}}{2}]$．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和点满足椭圆方程，以及抛物线的性质，考查向量共线的坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算化简能力，属于中档题．