Question

20．如图，在棱长为2的正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，点E，F，G分别是边AB，BC，AA₁上的点，记AE=x，BF=y，A₁G=z，
（1）若x=y=z=1，记平面EFG与边CC₁的交点为H，求异面直线A₁E与DH所成的角；（2）若x+y=2，求证：截面EFG⊥平面BDD₁B₁；
（3）若x=z，且y=1，求三棱锥B₁-GEF的体积的最小值．

Answer 1

分析 （1）若x=y=z=1，平面EFG与边CC₁的交点H为CC₁的中点，取CD的中点O，则A₁E∥D₁O，即可求异面直线A₁E与DH所成的角；
（2）若x+y=2，则BE=BF，证明EF⊥平面BDD₁B₁，即可证明截面EFG⊥平面BDD₁B₁；
（3）三棱锥B₁-GEF的体积=三棱锥F-GEB₁的体积=$\frac{1}{3}$${S}_{△GE{B}_{1}}$•BF，求出${S}_{△GE{B}_{1}}$的最小值，即可求三棱锥B₁-GEF的体积的最小值．

解答 （1）解：由题意，平面EFG与边CC₁的交点H为CC₁的中点，取CD的中点O，则A₁E∥D₁O，
正方形CDD₁C₁中，△D₁DO≌△DCH，∴∠OD₁D=∠HDC，∴DH⊥D₁O
∴DH⊥A₁E，
∴异面直线A₁E与DH所成的角为90°；
（2）证明：x+y=2，则BE=BF，∴EF⊥BD，
∵EF⊥D₁D，D₁D∩BD=D，
∴EF⊥平面BDD₁B₁，
∵EF?截面EFG，
∴截面EFG⊥平面BDD₁B₁；
（3）解：三棱锥B₁-GEF的体积=三棱锥F-GEB₁的体积=$\frac{1}{3}$${S}_{△GE{B}_{1}}$•BF．
${S}_{△GE{B}_{1}}$=4-$\frac{1}{2}•2•x$-$\frac{1}{2}•x•（2-x）$-$\frac{1}{2}•2•（2-x）$=$\frac{1}{2}（x-1）^{2}+\frac{3}{2}$，
∴x=1时，${S}_{△GE{B}_{1}}$的最小值为$\frac{3}{2}$，
∴三棱锥B₁-GEF的体积的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查异面直线A₁E与DH所成的角，考查平面与平面垂直，考查三棱锥B₁-GEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．