Question

7．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P是底面ABCD内一动点，且满足PC⊥PD，则当P运动时，A₁P²的最小值是（　　）

• A． 12-2$\sqrt{2}$
• B． 12+2$\sqrt{2}$
• C． 10+2$\sqrt{5}$
• D． 10-2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知得P点轨迹是以DC为直径位于平面ABCD内的半圆，取DC中点O，D₁C₁中点F，AB中点E，以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当P运动时，A₁P²的最小值．

解答 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P是底面ABCD内一动点，且满足PC⊥PD，
∴P点轨迹是以DC为直径位于平面ABCD内的半圆，
取DC中点O，D₁C₁中点F，AB中点E，
以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（cosθ，sinθ，0），0≤θ≤2π，A₁（2，-1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（2-cosθ，-1-sinθ，2），
∴A₁P²=${\overrightarrow{{A}_{1}P}}^{2}$=（2-cosθ）²+（-1-sinθ）²+4
=4-4cosθ+cos²θ+1+2sinθ+sin²θ+4
=10+2$\sqrt{5}$sin（θ+α），
∴当P运动时，A₁P²的最小值是10-2$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查线段平方的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．