Question

已知向量

a

=（2，2），向量

b

与向量

a

的夹角为

3π

4

，且

a

•

b

=-2，
（1）求向量

b

；
（2）已知向量

b

与x轴垂直，向量

c

=（cosA，2cos²

C

2

），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|

b

+

c

|的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）设

b

=（x，y），利用向量的数量积坐标运算和向量的夹角公式即可得出；
（2）利用等差数列的性质和三角形内角和定理可得B，再利用数量积性质、三角函数恒等变换、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设

b

=（x，y），∵向量

a

=（2，2），向量

b

与向量

a

的夹角为

3π

4

，且

a

•

b

=-2，
∴cos

3π

4

=

-2

8 • x2+y2

，2x+2y=-2．
化为

x+y=-1 x2+y2=1

，解得

x=-1 y=0

，或

x=0 y=-1

．
∴

b

=（-1，0），或（0，-1）．
（2）∵向量

b

与x轴垂直，∴

b

=（0，-1）．
∵三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，∴B=

π

3

．

b

+

c

=(cosA，2cos2

C

2

-1)=（cosA，cosC）．
|

b

+

c

|=

cos2A+cos2C

=

1+cos2A 2 + 1+cos2C 2

=

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

，
∵0＜C＜

2π

3

，∴-

2π

3

＜

2π

3

-2C＜

2π

3

．
∴-

1

2

＜cos(

2π

3

-2C)≤1．
∴

1

2

≤1-

1

2

cos(

2π

3

-2C)＜

5

4

，
∴

2

2

≤

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

＜

5

2

．
∴|

b

+

c

|的取值范围是[

2

2

，

5

2

)．

点评：本题考查了向量的数量积坐标运算和向量的夹角公式、等差数列的性质和三角形内角和定理、数量积性质、三角函数恒等变换、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．