Question

已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，又知此抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6．
（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
（3）求|AB|的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意设抛物线方程为y²=2px，（p＞0），由已知条件得4+

p

2

=6，由此能求出抛物线的方程．
（2）由

y2=8x y=kx-2

，得k²x²-（4k+8）x+4=0，由AB中点横坐标为2，得

4k+8

k2

=4，由此能求出k的值．
（3）由

y2=8x y=2x-2

，得4x²-16x+4=0，由此利用弦长公式能求出|AB|．

解答： 解：（1）由题意设抛物线方程为y²=2px，（p＞0），
其准线方程为x=-

p

2

，
∵抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6，
∴4+

p

2

=6，解得p=4，
∴此抛物线的方程为y²=8x．
（2）由

y2=8x y=kx-2

，消去y，得k²x²-（4k+8）x+4=0，
∵此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，
∴

k≠0 △=(4k+8)2-16k2＞0

，解得k＞-1且k≠0，
∵AB中点横坐标为2，
∴

4k+8

k2

=4，解得k=2或k=-1（舍），
∴k的值为2．
（3）由

y2=8x y=2x-2

，消去y，得4x²-16x+4=0，
△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
∴|AB|=

(1+4)(16-4)

=2

15

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查k值的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要注意椭圆弦长公式的合理运用．