Question

已知双曲线C的焦点在x轴上，一条渐近线为y=

4

3

x，实轴长为12，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）以双曲线C的两个顶点为焦点，以双曲线的焦点为顶点，求椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件知

b a = 4 3 2a=12

，由此能求出双曲线的标准方程．
（2）由题意知所求椭圆的顶点是（±10，0），焦点是（±6，0），由此能求出所求椭圆的标准方程．

解答： 解：（1）∵双曲线C的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0．
∵一条渐近线为y=

4

3

x，实轴长为12，
∴

b a = 4 3 2a=12

，解得a=6，b=8，
∴双曲线的标准方程为

x2

36

-

y2

64

=1．
（2）双曲线的

x2

36

-

y2

64

=1顶点为（±6，0），焦点为（±10，0），
∴所求椭圆的顶点是（±10，0），焦点是（±6，0），
∴所求椭圆的标准方程为：

x2

100

+

y2

64

=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，考查椭圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握圆锥曲线的简单性质．