Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，D是棱AA₁的中点．   
（Ⅰ）求证：B₁C₁∥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱锥B-C₁CD的体积；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在点Q，使得CQ⊥BC₁？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ABC-A₁B₁C₁为棱柱，可得B₁C₁∥BC，再由线面平行的判定可得B₁C₁∥平面BCD；
（Ⅱ）由D为棱AA₁的中点求出三角形CC₁D，再证明BC⊥平面CDC₁，即可求得三棱锥B-C₁CD的体积；
（Ⅲ）以C为原点，分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出所用点的坐标，假设在线段BD上存在点Q，使得CQ⊥BC₁，求出Q的坐标，由数量积为0得答案．

解答 （Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁为棱柱，则B₁C₁∥BC，
∵B₁C₁?平面BCD，BC?平面BCD，则B₁C₁∥平面BCD；
（Ⅱ）解：∵D为棱AA₁的中点，∴${S}_{△C{C}_{1}D}=\frac{1}{2}{S}_{AC{C}_{1}{A}_{1}}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∵AA₁⊥底面ABC，∴BC⊥AA₁，又BC⊥AC，且AC∩AA₁=A，
∴BC⊥平面CDC₁，
∴${V}_{B-{C}_{1}CD}$=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$；
（Ⅲ）解：线段BD上存在点Q（$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$），使得CQ⊥BC₁ ．
事实上，以C为原点，分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，1，0），C₁（0，0，2），D（1，0，1），
假设在线段BD上存在点Q，使得CQ⊥BC₁，设Q（x，y，z），
再设$\overrightarrow{BQ}=λ\overrightarrow{BD}$，则（x，y-1，z）=λ（1，-1，1），得x=λ，y=1-λ，z=λ，
则Q（λ，1-λ，λ），
∴$\overrightarrow{CQ}$=（λ，1-λ，λ），$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（0，-1，2）$，
由$\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=λ-1+2λ=0$，得$λ=\frac{1}{3}$．
∴线段BD上存在点Q（$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$），使得CQ⊥BC₁ ．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．