Question

1．设数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，则数列{b_n}的通项公式b_n=4ⁿ．

Answer 1

分析 由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2（n-1）}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ，相减可得a_nb_n=4ⁿ（2n-1），解得b_n．n=1时，a₁b₁=4，解得b₁．

解答 解：由数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，
数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，
∴n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2（n-1）}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ，
∴a_nb_n=4ⁿ（2n-1），∴b_n=4ⁿ．
n=1时，a₁b₁=$\frac{20}{9}+\frac{1}{9}×{2}^{4}$=4，解得b₁=4，上式对于n=1时也成立．
∴b_n=4ⁿ．
故答案为：4ⁿ．

点评 本题考查了数列递推关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．