Question

19．已知实数a，b，c满足a，b，c∈R⁺．
（Ⅰ）若ab=1，证明：（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）²≥4；
（Ⅱ）若a+b+c=3，且$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤|2x-1|-|x-2|+3恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本不等式，即可证明结论；
（Ⅱ）（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤（1+1+1）（a+b+c）=9，$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤|2x-1|-|x-2|+3恒成立，可得9≤|2x-1|-|x-2|+3，分类讨论，即可求x的取值范围．

解答 （Ⅰ）证明：∵ab=1，∴（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）²=a²+b²+2≥2ab+2=4；
（Ⅱ）解：（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤（1+1+1）（a+b+c）=9，
∵$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤|2x-1|-|x-2|+3恒成立，
∴9≤|2x-1|-|x-2|+3，
∴|2x-1|-|x-2|≥6，
x＜$\frac{1}{2}$，不等式化为-2x+1+x-2≥6，∴x≤-7，∴x≤-7，
$\frac{1}{2}≤x≤2$，不等式化为2x-1+x-2≥6，∴x≥3，不成立；
x＞2，不等式化为2x-1-x+2≥6，∴x≥5，∴x≥5；
综上所述，x≤-7或x≥5．

点评 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．