Question

若方程|log_ax|=||x-3|-1|有三解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得y=|log_ax|的图象（蓝色部分）和函数y=||x-3|-1|的图象（红色部分）有三个交点，故有|log_a3|＞1，再分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：∵方程|log_ax|=||x-3|-1|有三解，
∴函数y=|log_ax|的图象（蓝色部分）和函数
y=||x-3|-1|的图象（红色部分）有三个交点，如图所示，
故有|log_a3|＞1．
当a＞1时，由 log_a3＜-1，或 log_a3＞1，
解得0＜a＜

1

3

 （舍去），或1＜a＜3．
当0＜a＜1时，由 log_a3＜-1，或 log_a3＞1，
解得

1

3

＜a＜1，或a＞3 （舍去）．
综上可得，a的取值范围是{a|1＜a＜3，或

1

3

＜a＜1}，
故答案为：{a|1＜a＜3，或

1

3

＜a＜1}．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，对数函数的图象和性质综合应用，体现了数形结合以及分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．