Question

已知直线l：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的右焦点F，抛物线：x²=4

2

y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

．试判断λ₁+λ₂的值是否为定值，若是求出定值，不是说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，b=

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

，得（2m²+3）y²+4my-4=0，利用韦达定理结合已知条件能证明当m变化时，λ₁+λ₂的值是定值-3．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线x2=4

2

y的焦点坐标(0，

2

)…（1分）
∴b=

2

∴b2=2，
∴a²=b²+c²=3…（3分）
∴椭圆C的方程

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）由题意知m≠0，且l与y交于M（0，-

1

m

），
设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
∴y1+y2=

-4m

2m2+3

，y1•y2=

-4

2m2+3

，
∵

MA

=λ1

AF

，
∴（x1，y1+

1

m

）=λ₁（1-x₁，-y₁），
∴λ1=-1-

1

my1

，同理λ2=-1-

1

my2

，
∴λ₁+λ₂=-2-

1

m

（

1

y1

+

1

y2

）．
∵

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=

-4m

2m2+3

•(

2m2+3

-4

)=m…（10分）
∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

1

m

•m=-3…（12分）
∴当m变化时，λ₁+λ₂的值是定值，定值为-3．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．