题目内容

甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．
（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；
（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由已知条件分别求出甲同学选中E高校的概率和乙、两同学选取中E高校的概率，由此能求出甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率．
（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，分另求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．
解答： 解：（Ⅰ）由题意知：甲同学选中E高校的概率为p甲=
1
4
，
乙、两同学选取中E高校的概率为p乙=p丙=
C
1
4
C
2
5
=
2
5
，
∴甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率为：
P（1-p甲）•p乙•p丙=（1-
1
4
）•
2
5
•
2
5
=
3
25
．
（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=p甲•p乙•p丙=
1
4
×(
2
5
)2=
1
25
，
P（X=1）=（1-p甲）•p乙•p丙+p甲•（1-p乙）•p丙+p甲•p乙•（1-p丙）
=(1-
1
4
)•
2
5
•
2
5
+
1
4
•(1-
2
5
)•
2
5
+
1
4
•
2
5
•(1-
2
5
)=
6
25
，
P（X=2）=（1-p甲）•（1-p乙）•p丙+（1-p甲）•p乙•（1-p丙）+p甲•（1-p乙）•（1-p丙）
=(1-
1
4
)•(1-
2
5
)•
2
5
+(1-
1
4
)•
2
5
•(1-
2
5
)+
1
4
•(1-
2
5
)•(1-
2
5
)=
9
20
，
P（X=3）=（1-p甲）•（1-p乙）•（1-p丙）=(1-
1
4
)•(1-
2
5
)•(1-
2
5
)=
27
100
，
∴X的分布列为：
 X  0  1  2  3
P  
1
25
  
6
25
  
9
20
  
27
100
∴EX=0×
1
25
+1×
6
25
+2×
9
20
+3×
27
100
=
39
20
．
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
相关题目
z=x-y在
2x-y+1≥0
x-2y-1≤0
x+y≤1
的线性约束条件下，取得最大值的可行解为（　　）
A、（0，1）
B、（-1，-1）
C、（1，0）
D、（
1
2
，
1
2
）
已知平行四边形ABCD （如图1）中，AB=4，BC=5，对角线AC=3，将三角形△ACD沿AC折起至△PAC位置（图2），使二面角P-AC-B为60°，G，H分别是PA，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BGH；
（Ⅱ）求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．
已知直线l：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）的右焦点F，抛物线：x2=4
2
y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=3上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
．证明：λ1+λ2的值定值；
（Ⅲ）连接AE、BD，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
已知直线l：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）的右焦点F，抛物线：x2=4
2
y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
．试判断λ1+λ2的值是否为定值，若是求出定值，不是说明理由．
如图，AB是圆O的弦，CD是AB的垂直平分线，切线AE与DC的延长线相交于E．若AB=24，AE=20，则圆O的半径R=
 
．
对于函数f（x）=ex定义域中的任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
（1）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）；    
（2）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；
（3）
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0；       
 (4)
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
（5）f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
上述结论中正确的序号是
 
．
若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题，我们就把这个命题叫做“正向真命题”，给出下列命题：
①函数y=x2（x∈R）为偶函数；   
②若
a
•
c
=
b
•
c
，则
a
=
b

③若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
其中是“正向真命题”的是
 
．
下列命题中正确的个数是（　　）
（1）若
a
为单位向量，且
b
∥
a
，|
b
|=1，则
a
=
b
；   
（2）若|
a
|=0，则
a
=0
（3）若
b
∥
a
，则|
b
|=|
a
|；   
（4）若k
a
=
0
，则必有k=0（k∈R）；   
（5）若k∈R，则k•
0
=0．
A、0B、1C、2D、3

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