Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁作直线交椭圆于P、Q两点，△F₂PQ的周长为4

3

．
（1）若椭圆的离心率e=

3

3

，求椭圆的方程；
（2）若M为椭圆上一点，

MF1

•

MF2

=1，求△MF₁F₂的面积最大时的椭圆方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用△F₂PQ的周长为4

3

，求出a，利用椭圆的离心率e=

3

3

，求出c，即可求椭圆的方程；
（2）利用

MF1

•

MF2

=1，得x₀²+y₀²=c²+1，结合b²x₀²+a²y₀²=a²b²，可得c²＜2，进而可得1≤c²＜2，表示出△MF₁F₂的面积，利用函数的单调性，即可求最大值，从而得到椭圆方程．

解答： 解：（1）∵△F₂PQ的周长为4

3

，∴4a=4

3

，
∴a=

3

，
又∵椭圆的离心率e=

3

3

，∴c=1，
∴b=

a2-c2

=

2

，
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1…（4分）
（2）设M（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c＞0），
由

MF1

•

MF2

=1，得x₀²+y₀²=c²+1 ①…（6分）
又b²x₀²+a²y₀²=a²b²②…（7分）
由 ①②可得y₀²=

2b2-b2c2

c2

=

(a2-c2)(2-c2)

c2

…（8分）
∵y₀²＞0，∴c²＜2．
又由①可知x₀²+y₀²=c²+1≥b²=a²-c²=3-c²，
∴c²≥1，
∴1≤c²＜2．…（10分）
△MF₁F₂的面积=

1

2

•2c|y₀|=

c4-5c2+6

=

(c2- 5 2 )2- 1 4

由函数单调性知仅当c²=1时△MF₁F₂的面积有最大值

2

，
此时b=

a2-c2

=

2

…（11分）
∴所求的椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查椭圆的定义与几何性质，考查三角形面积的计算，属于中档题