Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆C，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； 
（Ⅱ）设不过原点的直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点．
     ①求实数m的取值范围；
     ②求实数m取何值时△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值是多少？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，且a=2，c=

3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）①把直线l的方程y=x+m代入椭圆方程

x2

4

+y2=1，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，由已和条件利用根的判别式能求出实数m的取值范围．
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知条件推导出|AB|=

2(x1-x2)2

，原点到直线AB的距离为

|m|

2

，由此能求出当m=±

10

2

时，△AOB面积最大值等于1．

解答： 解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），
∴a=2，c=

3

，
∴a²-b²=3，∴b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）①把直线l的方程y=x+m代入椭圆方程

x2

4

+y2=1，
整理，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
依题意，由△＞0，得（8m）²-4×5×4（m²-1）＞0，
∴16（5-m²）＞0，∴-

5

＜m＜

5

，
又∵m≠0，∴-

5

＜m＜0或0＜m＜

5

．
∴实数m的取值范围是{m|-

5

＜m＜0或0＜m＜

5

}．
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由①得：
x1+x2=-

8m

5

，x₁•x₂=

4(m2-1)

5

，
又∵|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

=

2(x1-x2)2

，
原点到直线AB的距离为

|m|

2

，
∴S_△AOB=

1

2

•|AB|•

|m|

2

=

1

2

×

4

5

×

5-m2

•|m|
=

2

5

m2•(5-m2)

≤

2

5

•

m2+(5-m2)

2

=1，
当且仅当m²=5-m²，即m=±

10

2

∈（-

5

，0）∪（0，

5

）时等号成立．
∴当m=±

10

2

时，△AOB面积最大值等于1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．