题目内容

以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度．已知直线l的方程为
ρcosθ-ρsinθ-1=0（ρ＞0），曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=2+2sinα
（α为参数），点M是曲线C上的一动点．
（Ⅰ）求线段OM的中点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．
考点：简单曲线的极坐标方程
专题：坐标系和参数方程
分析：（Ⅰ）设中点P的坐标为（x，y），依据中点公式求得线段OM的中点P的轨迹的参数方程，再把它化为直角坐标方程．
（Ⅱ）求得直线l的普通方程和曲线C的普通方程，可得曲线C表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心（0，2）到直线l的距离减去半径，计算求得结果．
解答： 解：（Ⅰ）设中点P的坐标为（x，y），依据中点公式有
x=cosα
y=1+sinα
（α为参数），
这是点P轨迹的参数方程，消参得点P的直角坐标方程为x2+（y-1）2=1．
（Ⅱ）直线l的普通方程为x-y-1=0，曲线C的普通方程为x2+（y-2）2=4
表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，
故所求最小值为圆心（0，2）到直线l的距离减去半径，
设所求最小距离为d，则d=
|0-2-1|
2
-2=
3
2
2
-2．
因此曲线C上的点到直线l的距离的最小值为
3
2
2
-2．
点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、直线和圆的位置关系，属于中档题．
练习册系列答案
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设变量x，y满足约束条件
3x+y-6≥0
x-y-2≤0
y-3≤0
，且目标函数z=y+ax的最小值为-7，则a的值为（　　）
A、-2B、-4C、-1D、1
已知抛物线C：x2=2py过点P(1，
1
2
)，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M，N．
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（2）是否存在定点Q，当直线l过点Q时，△PAM与△PBN的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1．
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（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得
MP
•
MQ
=0．若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．
在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos
A+C
2
=
1
2
．
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7
，求c的值；
（2）若f（A）=sinA（
3
cosA-sinA），求f（A）的取值范围．
已知直线l：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）的右焦点F，抛物线：x2=4
2
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MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
．试判断λ1+λ2的值是否为定值，若是求出定值，不是说明理由．
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3
sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）当x∈[0，
π
2
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m
=（1，sinA）与向量
n
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x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A、B分别是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1•k2|=
1
4
，则椭圆的离心率为
 
．
若函数f（x）=x2+（a-2）x+6在区间[1，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（　　）
A、a≥0B、a≤0
C、a≥4D、a≤4

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