Question

在平面直角坐标系中，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的方程为

x= 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．
（Ⅰ）求点T的极坐标；
（Ⅱ）过点T做直线l′，l′被曲线C截得的线段长为2，求直线l′的直角坐标方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ化为ρ²=4ρsinθ，直角坐标方程为：x²+y²=4y．直线l的方程为

x= 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t为参数），化为y+2=

3

x，联立解得再化为极坐标即可．
（II）直线l′的斜率不存在时：圆心C（0，2）到直线的距离d=

3

，弦长=2

4-3

=2，满足题意．当直线l′的斜率不存在时：设l′：y-1=k（x-

3

），利用点到直线的距离公式可得圆心C（0，2）到直线的距离d，解得k．即可得出．

解答： 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ化为ρ²=4ρsinθ，∴直角坐标方程为：x²+y²=4y．
直线l的方程为

x= 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t为参数），化为y+2=

3

x，
联立

y+2= 3 x x2+y2=4y

，化为x2-2

3

x+3=0，解得x=

3

，y=1．
∴T(

3

，1)．
∴ρ=

x2+y2

=2，tanθ=

y

x

=

3

3

，解得θ=

π

6

．
直线l与曲线C的公共点为T(2，

π

6

)．
（II）直线l′的斜率不存在时：圆心C（0，2）到直线的距离d=

3

，弦长=2

4-3

=2，满足题意．
当直线l′的斜率不存在时：设l′：y-1=k（x-

3

），
圆心C（0，2）到直线的距离d=

|-2- 3 k+1|

k2+1

=

4-1

，
解得k=

3

3

．
∴方程为y-1=

3

3

(x-

3

)，化为y=

3

3

x．
综上可得：直线l′的直角坐标方程为：y=

3

3

x或x=

3

．

点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．