Question

已知函数y=4^x+3×2^x+3，当其值域为[1，7]时，求x的取值范围．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：令t=2^x（t＞0），可得y=t²+3t+3，由函数的值域为[1，7]，得1≤t²+3t+3≤7，解出0＜t≤1．再将t还原成2^x，最后解关于x的不等式，即可得到实数x的取值范围．

解答： 解：令t=2^x，可得y=4^x+3•2^x+3=t²+3t+3，（t＞0）
∵函数的值域为[1，7]，
∴解不等式1≤t²+3t+3≤7，可得

t2+3t+2≥0 t2+3t-4≤0

，即有

t≥-1或t≤-2 -4≤t≤1

解此不等式组，由t＞0，得0＜t≤1，
∴0＜2^x≤1，即0＜2^x≤2⁰，
因此，x的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题给出含有指数式的“类二次”函数，在已知值域的情况下求x的取值范围，着重考查了指数函数、二次函数的图象与性质和不等式的解法等知识，属于中档题．