Question

13．已知函效f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+a）．若函数g（x）=2^x+a的图象所过定点的纵坐标为4．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的定义域；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数定点得出（0，a+1），即可求解a的值．
（2）利用对数定义得出$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$即-3＜x＜1
（3）换元得出u=（-x²-2x+3），x∈（-3，1），利用二次函数性质得出u的范围，再根据对数函数性质求解．

解答 解：（1）∵函数g（x）=2^x+a的图象所过定点的纵坐标为4，
∴图象所过定点（0，a+1），
a+1=4，a=3
（2）∵函效f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$即-3＜x＜1
∴函数f（x）的定义域（-3，1）
（3）函效f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²-2x+3），x∈（-3，1）
∵u=（-x²-2x+3），x∈（-3，1），u（-1）=4
∴0＜u≤4，
y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$u，u∈（0，4]，
y≥-2
即值域为：[-2，+∞）

点评 本题转化考查了函数的定义，性质，换元法解决函数问题，属于综合题目．