Question

5．已知c是双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的半焦距，则$\frac{c}{a+b}$的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，又a²+b²≥2ab，代入所求式子，计算即可得到最小值．

解答 解：由双曲线的方程可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
又a²+b²≥2ab，
即有$\frac{c}{a+b}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a+b}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}}$≥$\sqrt{\frac{1}{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当a=b时，取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的a，b，c的关系，同时考查重要不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．