Question

1．已知O为坐标原点，点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求线段AB的最短长度；
（2）若线段AB的中点为M，求M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）当弦AB长度最短时，AB⊥MC，即可求弦AB的长度；
（2）由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，即可求M的轨迹方程．

解答 解：（1）圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，所以圆心为C（0，4），半径为4．
当AB⊥MC时弦AB最短，此时AB=4$\sqrt{2}$；
（2）设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y），
由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，
即（x-3）²+（y-1）²=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-3）²+（y-1）²=2．

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．