Question

12．已知M是以点C为圆心的圆（x+1）²+y²=16上的动点，定点D（1，0），点H在DM上，点N在CM上，且满足$\overrightarrow{DM}$=$2\overrightarrow{DH}$，$\overrightarrow{NH}$$•\overrightarrow{DM}$=0，动点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点N（4，0）的直线l与轨迹E及单位圆x²+y²=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论．
（3）设直线x=my+1（m≠0）与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A′．试问：当m变化时直线A′B与x釉是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过$\overrightarrow{DM}$=$2\overrightarrow{DH}$、$\overrightarrow{NH}$$•\overrightarrow{DM}$=0可知|ND|=|NM|，等量代换可知|CN|+|ND|=4，进而可得曲线E的方程；
（2）通过记PS的中点为G，利用|PQ|=|RS|可知OG⊥PS，分直线PS的斜率存在与不存在两种情况讨论即可；
（3）通过联立直线与椭圆方程，进而结合韦达定理、在直线A′B方程中令y=0，计算即得结论．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{DM}$=$2\overrightarrow{DH}$，$\overrightarrow{NH}$$•\overrightarrow{DM}$=0，
∴NH为DM的垂直平分线，
∴|ND|=|NM|，
又∵|CN|+|NM|=4，
∴|CN|+|ND|=4，
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0）、D（1，0）为焦点的长轴为4的椭圆，
于是曲线E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）结论：存在直线l：y=0满足条件．
理由如下：
记PS的中点为G，则当|PQ|=|RS|时，点G为QR的中点，即OG⊥PS，
①当直线PS的斜率不存在时显然满足题意；
②假设直线PS的斜率存在，设满足题意的直线l的方程为：y=k（x-4），
并与曲线E的方程联立，消去y整理得：
（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，
设P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-8）=-$\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$，
∵OG⊥PS，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$•k=-1，即$\frac{-24k}{32{k}^{2}}$•k=-1，即$\frac{3}{4}$=1，矛盾；
综上所述，存在直线l：y=0满足条件．
（3）结论：直线A′B与x轴交于定点（4，0）．
理由如下：
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（x₁，-y₁），
且y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
经过点A′（x₁，-y₁）、B（x₂，y₂）的直线方程为：$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令y=0，则x=x₁+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$•y₁=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）{y}_{1}+（{y}_{2}+{y}_{1}）{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴当y=0时，x=$\frac{（m{y}_{2}+1）{y}_{1}+（m{y}_{1}+1）{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
=$\frac{-\frac{18m}{3{m}^{2}+4}-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}{-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}$
=4，
这说明：直线A′B与x轴交于定点（4，0）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．