题目内容
7．设曲线y=2016xn+1（n∈N*）在点（1，2016）处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an=log2016xn，则a1+a2+…+a2015的值为（ ）| A． | 2016 | B． | 2015 | C． | 1 | D． | -1 |
分析 由题意可得切点P（1，2016），f′（x）=2016（n+1）xn，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，xn=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘可求x1x2…x2015=$\frac{1}{2016}$，代入可求出答案．
解答 解：由题意可得切点P（1，2016），
对函数f（x）=2016xn+1求导可得，f′（x）=2016（n+1）xn，
∴y=f（x）在点P处的切线斜率k=f′（1）=2016（n+1），
切线方程为y-2016=2016（n+1）（x-1），
令y=0可得，xn=$\frac{n}{n+1}$，
∴x1x2…x2015=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{2015}{2016}$=$\frac{1}{2016}$，
∴a1+a2+…+a2015=log2016x1+log2016x2+…+log2016x2015
=log2016（x1x2…x2015）
=log2016 2016-1=-1．
故选D．
点评 本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力．属于中档题．
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