Question

3．函数f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sinωx+1（ω＞0），相邻两对称轴距离为$\frac{π}{2}$．
（I）求ω的值和最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （I）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，得出结论．
（Ⅱ）在区间（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上，利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上的最大值与最小值．

解答 解：（I）函数f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sinωx+1（ω＞0）=$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\sqrt{3}$sinωx+1
=cos（ωx-$\frac{π}{3}$）+1，
它的图象的相邻两对称轴距离为$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=2，f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）在区间（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，故当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$时，函数取得最小值为$\frac{1}{2}$，
当2x-$\frac{π}{3}$=0时，函数取得最小值为2．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．