Question

4．在△ABC中，BC=2AC，cosC=$\frac{3}{5}$，D是AB上的点，∠BCD=α，S_△ACD：S_△BCD=1：2．
（1）求sinα值；
（2）若BC=6，求CD．

Answer 1

分析 （1）利用面积关系，确定CD为∠ACB的角平分线，利用cosC=$\frac{3}{5}$，求sinα值；
（2）若BC=6，求出AB，BD，利用余弦定理，建立方程求CD．

解答 解：（1）设∠ACD=β，
∵BC=2AC，S_△ACD：S_△BCD=1：2，
∴$\frac{1}{2}$•CD•ACsinβ：（$\frac{1}{2}$•BC•CDsinα）=1：2，
∴sinβ=sinα，
∴β=α，
∵cosC=$\frac{3}{5}$，C∈（0，π）
∴cos2α=1-2sin²α=$\frac{3}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）△ABC中，BC=6，AC=3，cosC=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\sqrt{36+9-2×6×3×\frac{3}{5}}$=$\sqrt{\frac{117}{5}}$．
由（1）CD为∠ACB的角平分线，∴BD=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{117}{5}}$．
△BCD中，（$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{117}{5}}$）²=36+CD²-2×6×CD×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CD²-$\frac{24\sqrt{5}}{5}$CD+$\frac{128}{5}$=0，
∴CD=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
根据图形，CD=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．