Question

如图，在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=

2

，DA⊥PB，垂足为A，将△PAD沿AD折起到点P′，使得P′A⊥AB，得到四棱锥P′-ABCD，点M在棱P′B上．
（Ⅰ）证明：平面P′AD⊥平面P′CD；
（Ⅱ）平面AMC把四棱锥P′-ABCD分成两个几何体，当P′D∥平面AMC时，求这两个几何体的体积之比

VP′M-ACD

VM-ABC

的值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由图1中DA⊥P′B，可得折叠后DA⊥AB，DA⊥P′A，进而DC⊥P′A，DC⊥DA，由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面P′AD，再由面面垂直的判定定理得到平面P′AD⊥平面P′CD；
（2）根据几何图形可知

P′M

MB

=

1

2

，求出四棱锥P′-ABCD的高为h，底面积为

1

2

×（1+2）×1=

3

2

，三棱锥M-ABC的高为h₀，底面积为

1

2

×2×1=1，

h0

h

=

2

3

，利用分割法求解体积，得出比值，

解答： 证明：（1）因为在图a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱锥P′-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥P′A
又P′A⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥P′A，DC⊥DA，
而DA?平面P′AD，P′A?平面P′AD，P′A∩DA=A，
所以DC⊥平面P′AD
因为DC?平面P′CD，
所以平面P′AD⊥平面P′CD，
解：（2）∵在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=

2

，
∴AD=1，BD=

5

，BD与AC的交点为O，
可得OD=

5

3

，OB=

2 5

3

，
∵当P′D∥平面AMC时，
∴P′D∥0M，
∴

h0

h

=

2

3

，
∵根据体积公式：

1

3

sh，
∴三棱锥M-ABC与四棱锥P′-ABCD的体积之比为

4

9

，
这两个几何体的体积之比

VP′M-ACD

VM-ABC

=

4 9

1- 4 9

=

4

5

点评：本题考察了空间几何体的性质，运用求解体积，面积，线段的长，分割法求解几何体的体积，属于难题．