Question

已知

a

=（

3

，cosωx），

b

=（sinωx，-1），（0＜ω＜3，x∈R）．函数f（x）=

a

•

b

，若将函数f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，则得到y=g（x）的图象，且函数y=g（x）为偶函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（Ⅱ）若f(

α

2

)=

1

2

，(

π

6

＜α＜

2

3

π)，求sinα的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=

a

•

b

=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），知g（x）=2sin（ωx+

ω

3

π-

π

6

），由g（x）是偶函数，得f（x）=2sin（2x-

π

6

），由此能求出函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）由f（

α

2

）=2sin（2•

α

2

-

π

6

）=2sin（α-

π

6

），f（

α

2

）=

1

2

，得sin（α-

π

6

）=

1

4

，从而cos（α-

π

6

）=

15

4

，由此能求出sinα．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
∴g（x）=f（x+

π

3

）=2sin[ω（x+

π

3

）-

π

6

]=2sin（ωx+

ω

3

π-

π

6

），
又∵g（x）是偶函数，
∴sin（-ωx+

ω

3

π-

π

6

）=sin（ωx+

ω

3

π-

π

6

），
∴sinωxcos（

ω

3

π-

π

6

）=0对任意x∈R恒成立，
∴

ω

3

π-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，
整理，得ω=2+3k，k∈Z，
又0＜ω＜3，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
f（

α

2

）=2sin（2•

α

2

-

π

6

）=2sin（α-

π

6

），
又f（

α

2

）=

1

2

，∴sin（α-

π

6

）=

1

4

，
又

π

6

＜α＜

2

3

π，∴0＜α-

π

6

＜

π

2

，
∴cos（α-

π

6

）=

15

4

，
∴sinα=sin[(α-

π

6

)+

π

6

]
=sin(α-

π

6

)cos

π

6

+cos(α-

π

6

)sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

3 + 15

8

．

点评：本题考查函数f（x）的解析式及其单调增区间的求法，考查sinα的值的求法，是中档题，解题时要注意向量的数量积的合理运用．